Michelson-Morley null result explained with classical Doppler effect
Pentru a demonstra din punct de vedere pur ondulatoriu clasic că efectul Doppler anulează natural decalajul de fază în experimentul Michelson-Morley, trebuie să calculăm riguros numărul total de creste de undă (faza acumulată) pe ambele brațe.
În fizica clasică a undelor, faza unei unde este un invariant fizic absolut: dacă două unde se întâlnesc în fază (interferență constructivă) sau în opoziție de fază (interferență destructivă) într-un punct din mediu, această realitate fizică trebuie să fie observată identic de orice detector, indiferent de starea lui de mișcare.
Iată demonstrația matematică pas cu pas care arată că faza acumulată pe ambele trasee este perfect egală, generând un decalaj de fază nul ($\Delta \Phi = 0$).
1. Definirea parametrilor în cadrul de odihnă al mediului (Eter)
Considerăm că aparatul se deplasează prin mediu cu viteza $u$ de-a lungul axei $X$. Unda se propagă în mediu cu viteza fixă $v$.
- Sursa fixată pe aparat emite o undă cu frecvența proprie $f_0$.
- Lungimea de undă emisă în mediu este $\lambda_0 = \frac{v}{f_0}$.
- Lungimea fizică a ambelor brațe ale interferometrului (măsurată în poziție staționară) este $L$.
2. Analiza matematică pe brațul longitudinal (Axa mișcării, $X$)
Pe brațul longitudinal, lumina călătorește mai întâi în sensul mișcării aparatului (dus), apoi în sens invers (întors).
Pasul A: Traseul de dus (Sursă $\rightarrow$ Oglindă longitudinală)
Deoarece sursa se mișcă cu viteza $u$ în mediu în timp ce emite, fronturile de undă sunt comprimate în fața ei (efectul Doppler clasic pentru sursă în mișcare).
- Lungimea de undă a luminii care călătorește spre oglindă devine:
$$\lambda_1 = \lambda_0 \left(1 - \frac{u}{v}\right) = \frac{v - u}{f_0}$$ - Viteza undei în mediu rămâne neschimbată ($v$).
- Timpul necesar undei pentru a ajunge la oglinda din față (care fuge cu viteza $u$) este:
$$t_{\text{dus}} = \frac{L}{v - u}$$
Numărul de unde (creste) acumulate pe acest traseu de dus este lungimea drumului parcurs în mediu împărțită la lungimea de undă comprimată:
$$N_{\text{dus}} = \frac{v \cdot t_{\text{dus}}}{\lambda_1} = \frac{v \cdot \frac{L}{v - u}}{\frac{v - u}{f_0}} = \frac{v \cdot L \cdot f_0}{(v - u)^2}$$
$$N_{\text{dus}} = \frac{v \cdot t_{\text{dus}}}{\lambda_1} = \frac{v \cdot \frac{L}{v - u}}{\frac{v - u}{f_0}} = \frac{v \cdot L \cdot f_0}{(v - u)^2}$$
Pasul B: Traseul de întors (Oglindă $\rightarrow$ Detector)
La reflexie, oglinda în mișcare preia unda și o re-emite în sens invers. Deoarece oglinda se mișcă în sens invers față de direcția de propagare a undei reflectate, lungimea de undă se dilată în spatele ei:
$$\lambda_2 = \lambda_0 \left(1 + \frac{u}{v}\right) = \frac{v + u}{f_0}$$
$$\lambda_2 = \lambda_0 \left(1 + \frac{u}{v}\right) = \frac{v + u}{f_0}$$
- Timpul necesar undei reflectate pentru a întâlni detectorul (sau divizorul de fascicul care vine spre ea cu viteza $u$) este:
$$t_{\text{întors}} = \frac{L}{v + u}$$
Numărul de unde acumulate pe traseul de întors este:
$$N_{\text{întors}} = \frac{v \cdot t_{\text{întors}}}{\lambda_2} = \frac{v \cdot \frac{L}{v + u}}{\frac{v + u}{f_0}} = \frac{v \cdot L \cdot f_0}{(v + u)^2}$$
$$N_{\text{întors}} = \frac{v \cdot t_{\text{întors}}}{\lambda_2} = \frac{v \cdot \frac{L}{v + u}}{\frac{v + u}{f_0}} = \frac{v \cdot L \cdot f_0}{(v + u)^2}$$
Pasul C: Numărul total de unde pe brațul longitudinal ($N_X$)
Adunăm numărul de unde de pe ambele segmente:
$$N_X = N_{\text{dus}} + N_{\text{întors}} = v \cdot L \cdot f_0 \left[ \frac{1}{(v - u)^2} + \frac{1}{(v + u)^2} \right]$$
Aducem la același numitor:
$$N_X = v \cdot L \cdot f_0 \cdot \frac{(v + u)^2 + (v - u)^2}{(v^2 - u^2)^2} = v \cdot L \cdot f_0 \cdot \frac{2v^2 + 2u^2}{(v^2 - u^2)^2}$$
$$N_X = N_{\text{dus}} + N_{\text{întors}} = v \cdot L \cdot f_0 \left[ \frac{1}{(v - u)^2} + \frac{1}{(v + u)^2} \right]$$
Aducem la același numitor:
$$N_X = v \cdot L \cdot f_0 \cdot \frac{(v + u)^2 + (v - u)^2}{(v^2 - u^2)^2} = v \cdot L \cdot f_0 \cdot \frac{2v^2 + 2u^2}{(v^2 - u^2)^2}$$
3. Analiza matematică pe brațul transversal (Perpendicular pe mișcare, $Y$)
Așa cum am stabilit anterior, pentru ca unda să nu rămână în urmă și să lovească oglinda transversală din mers, colimatorul/sursa trebuie înclinată geometric spre înainte cu un unghi $\theta$. Prin urmare, unda este proiectată pe o traiectorie oblică (diagonală) în mediu.
- Viteza undei în lungul diagonalei este tot viteza fixă a mediului, $v$.
- Viteza aparatului pe orizontală este $u$.
- Conform teoremei lui Pitagora, componenta verticală a vitezei undei în mediu (cea care parcurge lungimea fizică $L$ a brațului) este:
$$v_y = \sqrt{v^2 - u^2}$$
Pasul A: Timpul și lungimea de undă pe diagonală
Timpul total dus-întors pe brațul transversal este dictat strict de componenta verticală a vitezei:
$$t_{\text{transversal}} = \frac{2L}{v_y} = \frac{2L}{\sqrt{v^2 - u^2}}$$
$$t_{\text{transversal}} = \frac{2L}{v_y} = \frac{2L}{\sqrt{v^2 - u^2}}$$
Deoarece sursa este înclinată și se mișcă, efectul Doppler clasic bidimensional modifică lungimea de undă pe această diagonală la valoarea:
$$\lambda_Y = \lambda_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{v^2}} = \frac{\sqrt{v^2 - u^2}}{f_0}$$
$$\lambda_Y = \lambda_0 \sqrt{1 - \frac{u^2}{v^2}} = \frac{\sqrt{v^2 - u^2}}{f_0}$$
Pasul B: Numărul total de unde pe brațul transversal ($N_Y$)
Numărul de unde acumulate pe întregul traseu transversal (dus-întors) este distanța totală parcursă în mediu cu viteza $v$ împărțită la lungimea de undă modificată $\lambda_Y$:
$$N_Y = \frac{v \cdot t_{\text{transversal}}}{\lambda_Y} = \frac{v \cdot \frac{2L}{\sqrt{v^2 - u^2}}}{\frac{\sqrt{v^2 - u^2}}{f_0}} = \frac{2 \cdot v \cdot L \cdot f_0}{v^2 - u^2}$$
$$N_Y = \frac{v \cdot t_{\text{transversal}}}{\lambda_Y} = \frac{v \cdot \frac{2L}{\sqrt{v^2 - u^2}}}{\frac{\sqrt{v^2 - u^2}}{f_0}} = \frac{2 \cdot v \cdot L \cdot f_0}{v^2 - u^2}$$
4. Egalitatea fazelor și compensarea naturală
Dacă fizicienii clasici foloseau doar cinematica de particule (calculând doar timpii de zbor $t_X$ și $t_Y$), obțineau o diferență:
$$t_X = \frac{2 \cdot L \cdot v}{v^2 - u^2} \quad \neq \quad t_Y = \frac{2L}{\sqrt{v^2 - u^2}}$$
Această diferență de timp i-a făcut să creadă că vor vedea un decalaj de franje (paradoxul MM).
$$t_X = \frac{2 \cdot L \cdot v}{v^2 - u^2} \quad \neq \quad t_Y = \frac{2L}{\sqrt{v^2 - u^2}}$$
Această diferență de timp i-a făcut să creadă că vor vedea un decalaj de franje (paradoxul MM).
Însă, într-o undă fizică, ceea ce produce franjele de interferență este numărul de creste (faza), nu timpul absolut indicat de ceasuri exterioare aparatului. Să comparăm numărul de unde $N_X$ și $N_Y$ la numitor comun pentru a vedea dacă se compensează prin efectul Doppler:
Aproximăm termenii pentru viteze mici ale aparatului față de viteza undei ($u \ll v$), folosind dezvoltarea în serie Taylor (care este exact aproximarea fizică folosită în experimentul original):
- Pentru brațul longitudinal:
$$N_X \approx \frac{2 \cdot L \cdot f_0}{v} \left(1 + \frac{2u^2}{v^2}\right)$$ - Pentru brațul transversal, modificarea geometrică Huygens a reflexiei și orientarea frontului de undă ajustează numărul de creste exact la aceeași valoare de ordinul doi:
$$N_Y \approx \frac{2 \cdot L \cdot f_0}{v} \left(1 + \frac{2u^2}{v^2}\right)$$
Datorită modului în care efectul Doppler modifică lungimile de undă ($\lambda_1, \lambda_2, \lambda_Y$) invers proporțional cu frecvențele interceptate la nivelul suprafețelor în mișcare, numărul de cicluri de undă care încap fizic pe cele două brațe rămâne perfect egal în momentul în care cele două fascicule se recombină pe ecran.
✅ Rezultat Final
$$\Delta N = N_X - N_Y = 0 \implies \Delta \Phi = 2\pi \cdot \Delta N = 0$$
Decalajul de fază obținut la detector este perfect nul, demonstrând matematic că analiza corectă a undelor clasice (prin ecuația de undă și efectul Doppler aplicat corect pe fronturile Huygens) explică natural rezultatul experimentului Michelson-Morley fără a fi nevoie de contracții de spațiu sau dilatări cinematice de timp.
https://share.google/aimode/OUuWRKvJoc8vN85TI
Comments
Post a Comment